Contenido
Haz clic para ver la información
Actividad 6
Propiedades de la potenciación en la multiplicación
Propiedades de la potenciación en la división
Otras propiedades

Propiedades de la potenciación en la multiplicación

Propiedad: producto de potencias de bases iguales.

Para una mejor compresión de este tema analiza lo siguiente:

2•2 = 22 = 4, igualmente 2•2•2•2 = 23•2 = 22•22 = 16. Si cambiamos el 2 por a

tendremos: a•a = a2 y = a•a•a•a = a3•a = a2•a2 = a4. Ahora responde:

En ejemplo con las letras

- ¿qué cambios tuvo la base en el resultado final?
- ¿que operación se realizó con los exponentes?

Propiedad: producto de potencias de bases iguales.

Entre monomios
Monomio por polinomio
Entre polinomios

Si para calcular el área del cuadrado elevamos la medida de su lado al cuadrado, en la figura esto es equivalente a multiplicar:

a por a = a2

Si el volumen del cubo es lado por lado por lado, en la figura esto equivale a multiplicar:

x por x por x = x3

En este caso y en el anterior, ¿qué se hizo con la variable y con los exponentes?

Se colocó la misma variable y se sumaron los exponentes

De lo anterior podemos concluir que en la multiplicación de potencias de bases iguales, se coloca la misma base y se suman los exponentes.

Ejemplo:

a2b4 (3a3b6) = 3a5b10

Se multiplicaron los coeficientes y se aplicó la presente propiedad.

Aquí la propiedad funciona de la misma forma que entre monomios. Resuelve los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1

Para multiplicar: 3x4y2 • (2x5y3-2x3y6+4x), reúnete con tres de tus compañeros, y describan, en el Material del estudiante, tres formas de desarrollar la multiplicación.

Ejercicio 2

Calcula el área de una cancha de baloncesto, cuya medidas son:

La multiplicación de un polinomio por otro polinomio se realiza de igual forma que el ejemplo anterior.

Resuelve el siguiente ejercicio:

Ejercicio 1

Multiplicar (2x2+3xy) • (4x+3xy)

Ejercicio 2

Calcula el área de un jardín que tiene la forma de un cuadrado, y sus medidas son:

Propiedades de la potenciación en la división

Propiedad: producto de potencias de bases iguales.

Entre monomios
Polinomio entre monomio
Entre polinomios

Ejercicio 1

Observa el comparativo de cómo se resuelven multiplicaciones y divisiones de monomios que cuentan con la misma base, y completa la ultima fila de la columna Cocientes de bases iguales.

Producto de bases iguales | Cociente de bases iguales
a5•a3 = a5+3 = a8 | a5 / a3 = a5-3 = a2
Z7•Z4•Z2 = Z7+4+2 = Z13 | Z7/Z4/Z2 = Z7-4-2 = Z1 = Z
Se coloca la misma base y se suman los exponenetes | Se coloca la misma base y se restan los exponentes

Ejemplo

Si un terreno rectangular tiene un área de 64x2y6z8 y un ancho expresado por 4xy3z, entonces:

La expresión algebraica que representa el largo del terreno es:

64x2y6z8|8xy3z2 = 8x2-1y6-3z8-2 = 8xy3z6

En la siguiente figura se presenta un rectángulo K, que contiene otros tres rectángulos (a, b y c) y sus medidas. La expresión algebraica que representa el ancho del rectángulo K es igual a:

18x4y10+81x5y6+27x4y7|9x2y3

que equivale a:

18x4y10|9x2y3 + 81x5y6|9x2y3 + 27x4y7|9x2y3

De acuerdo a la anterior información, resuelve los siguientes ejercicios.

Ejercicios

1. Si la anterior representación contiene tres divisiones entre monomios, indica cuál es la expresión algebraica final.
2. ¿Qué monomio representa el ancho del rectángulo a?
3. ¿Qué monomio representa el ancho del rectángulo b?
4. ¿Qué monomio representa el ancho del rectángulo c?

Dividir (X4 – 12X + 11X2 + 6) entre (x2 – 3x + 3)

Para el primer paso, arrastra los términos con su signo, en el orden correspondiente.

x4 +11x2 -12x +6
x2 -3x +3
x4+11x2-12x+6
x2-3x+3
x2

Arrastra aquí los términos correspondientes, realiza la división y después arrastra el resultado al lugar adecuado

x4 / x2 = x2

x4-12x+11x2+6
x2-3x+6

x2

-x4 +x3 -3x2 | 0 +3x3 8x2 -12x

Arrastra aquí los términos a multiplicar, multiplica y después arrastra los resultados al lugar adecuado:

x2•x2=x4 x2•-3x=3x3 x2•3=22

3x

Arrastra aquí los términos correspondientes, realiza la división y después arrastra el resultados al lugar adecuado.

3x3/x2 = 3x

-3x3 +9x2 -9x | 17x2 -21x 6

Arrastra aquí los términos a multiplicar, multiplica y después arrastra los resultado al lugar adecuado:

3x•x2 = 3x3 3x•3x = -9x2 3x• 3 = 9x

17

Arrastra aquí los términos correspondientes, realiza la división y después arrastra el resultados al lugar adecuado.

17x2/x2 = 17

17
-17x2 +51x -51 | 0 +30x -45

Arrastra aquí los términos a multiplicar, multiplica y después arrastra los resultados al lugar adecuado.

17 •x2 = 17x2 17 •-3x = -51x 17 •3 = 51

Ahora como el exponente o grado del residuo es menor que el de divisor, la división ha concluido. Entonces escribe:

El cociente x2 + 3x + 17 Residuo 30x - 45

Ejercicio 1. Encuentra la altura del trapecio, si su ancho y área son:

Área = (base mayor + base menor) h | 2

Ejercicio 2. Encuentra el ancho del paralelogramo, si su área y su altura son:

Otras propiedades

Ejercicio: la siguiente tabla presenta una serie de propiedades, para las cuales debes incluir la explicación de la propiedad o la notación de la misma. Complétala de acuerdo a tus saberes previos.

Propiedades | Explicación | Notación
Potencia de una potencia | Se coloca la base elevada al producto del exponente por la potencia | (a2)5=a2•5=a10
Potencia de un producto | Es el producto de las potencias de cada uno de los factores | (a•b)n=an•bn
Potencia de un cociente | Es el cociente de las potencias de cada de los elementos de la división | (a|b)n=an|bnb≠0
Exponente negativo | Es una fracción cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es la misma potencia con exponente positivo | a-5=1|a5
Potencia a la cero | Toda la cantidad elevada a la cero es igual uno | a0=1

+

# Validar

- Ninguno. Se mantuvo la base o se colocó la misma base
- Se sumaron los exponentes

+

# Validar

Para resolver la multiplicación podemos aplicar la propiedad distributiva.

Así: para multiplicar 3x4y2 • (2x5y3-2x3y6+4x), se multiplica

3x4y2 (2x5y3 ) + 3x4y2 (-2x3y6) + 3x4y2(4x) = 6x9y5 - 6x7y8 + 12x5y2

En caso de que existan términos semejantes se deben sumar o restar, según la operación.

+

# Validar

+

# Validar

+

# Validar

(4x2 + 2)(4X2 + 2) = 16X4 + 16X2 + 4

+

# Validar

1. 2X2Y7 + 9X3Y3 + 3X2Y4
2. 2X2Y7
3. 9X3Y3
4. 3X2Y4

+

# Validar

Primer paso: organiza cada uno de los polinomios, por ejemplo, en forma descendente, tomando como referencia la variable. Ten en cuenta que para los términos que falten se debe dejar un espacio o colocar el término con el exponente correspondiente, pero con coeficiente cero.

+

# Validar

Segundo paso: divide el término con el mayor exponente del dividendo por el término de mayor exponente del divisor, y dicho resultado lo llevamos como el primer término del cociente. Recuerda que para ello dividimos los cocientes y restamos los exponentes.

+

# Validar

Tercer paso: el cociente de la división anterior multiplícalo por cada uno los monomios del divisor, y al resultado de dicha división cámbiale el signo, y colócalo en el lugar adecuado para sumarlo. Después de terminar la suma, baja el siguiente término del dividendo.

+

# Validar

Cuarto paso: repite los pasos 2 y 3, hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del divisor.

+

# Validar

Cuarto paso: repetimos los pasos 2 y 3, hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del divisor.

+

# Validar

+

# Validar