### ACTIVIDAD

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FUNCIONES

1. Reúnete con un compañero, observa los conjuntos dados, los diagramas y responde a lo planteado.

   Se tienen los siguientes conjuntos: A={a1, a2}; B={b1, b2, b3, b4, b5} A y B representan el conjunto de los amigos.
   A su vez {b1, b2, b3} son los amigos de a1 y {b2, b3, b4, b5} son los amigos de a2.

   De acuerdo a los conjuntos dados y sus
   características completa los diagramas sagitales
   con las flechas necesarias para cumplir con las
   características que se dan. Ten en cuenta lo
   trabajado anteriormente.

2. Con la solución hallada responde a los siguientes items.

   Con base a la solución encontrada y teniendo
   en cuenta que la pareja ordenada (a, b)
   representa la relación de “amistad” (a amigo
   de b), escribe:
   A. El conjunto AxB de todas las amistades
   que se pueden dar.
   B. El conjunto C de los amigos de a1.
   C. El conjunto D de los amigos de a2.
   D. El conjunto E de los amigos en común de
   a1 y a2.

3. Socialización del ejercicio.
4. Tomando algunas decisiones.

   Si se tiene en cuenta lo trabajado en la primera parte y lo anterior:

   - ¿Cómo se relacionan los elementos del conjunto AxB y los elementos de C, D y
   E respectivamente?

   - Si se considera la pareja (a1, a1) con la relación de “amistad”, ¿Qué representa la
   anterior pareja?

5. Tomando algunas decisiones.

   De lo anterior tenemos que C, D y E son subconjuntos del
   conjunto AxB, es decir, que una relación entre los conjuntos A
   y B es subconjunto del producto cartesiano AxB.
   Mientras la pareja (a1, a1) indica que a1 es amigo de sí
   mismo. Luego, dicha relación se denomina propiedad
   reflexiva,
   ya que el elemento a1 se relaciona consigo mismo.

6. Observa los diagramas y responde a lo planteado.

   Actividad

   Considere la relación de “hermanos” expuesta en los
   diagramas. Tenga en cuenta que b1, b2 son los
   hermanos de a1, y b2, b3 son los de a2. De acuerdo
   con lo anterior escriba y responda según lo pedido:
   El conjunto F que represente la relación “hermano”
   de a1.
   El conjunto G que represente la relación “hermano”
   de a2.
   ¿(a1, b1) representa lo mismo que (b1, a1)? Justifica
   tu respuesta.
   Si se tiene las dos parejas (a1, b2) y (b2, a2), ¿se
   puede concluir que a1 es hermano de a2? Justifica tu
   respuesta.

7. Tomando algunas decisiones.

   De lo anterior tenemos que a1 es hermano de b1, pero a su vez b1 es
   hermano de a1, representando así, lo mismo. Luego, dicha relación se
   denomina propiedad simétrica, ya que la pareja (a1, b1) guarda la misma
   relación que la pareja (b1, a1).
   Ejemplo: si se considera la relación “ser múltiplo de” y se tiene los
   elementos 2 y 4 particularmente. La pareja (2, 4) no representaría lo mismo
   que la pareja (4, 2); ya que 4 es múltiplo de 2 (4, 2) pero 2 no es múltiplo de
   4 (2, 4). Por ende la relación no es simétrica.
   Por otro lado si a1 es hermano de b2 y a su vez b2 es hermano de a2, se
   puede llegar a que a1 es hermano de a2. Luego, dicha relación se denomina
   propiedad transitiva, ya que a1 guarda la misma relación con a2 a través de
   b2.

8. Tomando algunas decisiones.

   Ejercicio

   Para el siguiente ejercicio consideraras las relaciones sobre
   un mismo conjunto, es decir, los subconjuntos de AxA. Para
   ello tendrás el conjunto A={1, 2, 3, 4, 5, 6} y la relación
   “tienen la misma paridad”, es decir, qué elementos de A son
   pares o impares.
   Representa , tanto en el diagrama como en forma de
   conjunto, la relación AxA.
   Representa el conjunto B que evidencie la relación ser par.
   Representa el conjunto C que evidencie la relación ser
   impar.
   ¿La pareja (4, 4) qué representa?
   ¿(3, 5) representa lo mismo que (5, 3)? Justifica tu
   respuesta.
   Clasifica las relaciones que cumplan con las propiedades
   vistas anteriormente (Reflexiva, Simétrica y Transitiva)

9. Formalizando las propiedades.

   Ejercicio

   De acuerdo a lo trabajado, hasta el momento es hora de
   generalizar las propiedades vistas:
   “si se tiene un conjunto A y una relación R, donde ɑRb con
   ɑ, b ϵ A indica que ɑ y b cumplen la relación R, la relación
   puede cumplir las siguientes propiedades, las cuales se
   denominan relación de equivalencia:

   ɑRa para todo b ϵ a propiedad reflexiva.
   Si ɑRb entonces bRa propiedad simétrica.
   Si ɑRb y bRC entonces aRC propiedad transitiva.

10. Aplicando lo aprendido.

    Actividad

    Observa el siguiente conjunto A={1, 2, 3, 4, 6, 12} (divisores de
    12) y la relación “a divide exactamente a b” (a y b son elementos
    de A).
    Teniendo en cuenta el conjunto A y la relación realice y responda:
    Construye haciendo uso de parejas ordenadas el conjunto H que
    cumpla con la relación dada.
    ¿La relación cumple la propiedad reflexiva?
    ¿La relación cumple la propiedad simétrica?
    ¿La relación cumple la propiedad transitiva? De tres ejemplos.
    De acuerdo a lo anterior, ¿alguna propiedad no se cumple? En
    caso de que su respuesta sea afirmativa explique porque no se
    cumple y diga ¿Qué debería pasar para que se cumpliese?

11. Descubriendo una nueva propiedad.

    Actividad

    De acuerdo a lo anterior, debiste haber notado que la relación
    ɑRb y bRa (propiedad simétrica) no se cumplía. Lo anterior dado
    que no hay un a que divida a b exactamente, y que a su vez b
    divida exactamente a a. Para ello se tendría que cumplir que a=b;
    tal propiedad se denomina anti-simétrica.
    A su vez si un conjunto A y una relación R, cumplen con las pro-
    piedades:
    Se dice que la relación es de orden.

    ɑRa para todo a ϵ R. propiedad reflexiva.
    Si ɑRb y bRa entonces b=a. Propiedad anti-simétrica.
    Si ɑRb y bRC entonces aRC. propiedad transitiva.