### ACTIVIDAD

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1. Continuando en los mismos grupos, observa la siguiente simulación y observa detenidamente el comportamiento de la función trabajada:

   “El movimiento de una pelota al ser lanzada
   verticalmente hacia arriba, esta representado por la
   gráfica que representa la trayectoria ss y la rapidez
   con que es lanzada ascendentemente: 15 m/s.
   Por consiguiente, la posición en cualquier instante t
   una vez que se suelta la pelota está dada por la
   ecuación:

   y =15t−4.9t²

   Esta función es de la forma y = ax² + bx + c, y
   se denomina cuadrática.

2. Con la función obtenida y = x² , observa los diversos cambios que se obtienen:

   ¿Qué pasa si la función y = x² se multiplica por un número distinto de cero?
   La expresión algebraica más simple que representa una función cuadrática esta
   dada por y = x² , de acuerdo con ello encuentra los valores de y para los x dados
   en la tabla y realice la gráfica de la función:

   Continuando en los mismos grupos, observa la siguiente simulación y observa detenidamente el comportamiento de la función trabajada:

   ¿Qué pasa si la función y = x² se
   multiplica por un número distinto de cero?

   Gráfica de la función y = x²

3. Con base a la gráfica anterior, respondan lo siguiente justificando cada respuesta:

   Si se usan los mismos valores de x anteriores y se considera la función ssssssss, ¿Cuál es la gráfica de
   la nueva función cuadrática?
   Socialización (cada grupo mostrara la gráfica obtenida)

   Al compararse la gráfica obtenida en el punto anterior con la gráfica de y = x², ¿Cuáles son las diferencias?

   Socialización
4. Con base a la gráfica anterior, respondan lo siguiente justificando cada respuesta:

   Si se usan los mismos valores de x anteriores y se considera la función, y = 2x², ¿Cuál es la gráfica de
   la nueva función cuadrática?
   Socialización (cada grupo mostrara la gráfica obtenida)

   Al compararse la gráfica obtenida en el punto anterior con la gráfica de y = x², ¿Cuáles son las diferencias?

   Socialización Ahora observen y concluyamos.

   Si se comparan las tres funciones en una misma
   gráfica se obtiene lo siguiente: la función
   se simboliza con la línea roja y muestra una
   expansión de la función cuadrática. Mientras que
   la función
   y = 2x² simbolizada con la línea azul muestra

5. Con base a la gráfica anterior, respondan lo siguiente justificando cada respuesta:

   Si se usan los mismos valores de x anteriores y se considera la función, y = -2x², ¿Cuál es la gráfica de
   la nueva función cuadrática?
   Socialización (cada grupo mostrara la gráfica obtenida)

   Al compararse la gráfica obtenida en el punto anterior con la gráfica de y = x², ¿Cuáles son las diferencias?

   Socialización Ahora observen y concluyamos.

   Si se comparan las dos funciones se tiene que
   y = -2x² , se genera de multiplicar -2 con la
   función cuadrática. Dado esto la línea roja
   representa la función y = -2x².

6. Generalicemos juntos los resultados obtenidos en los ejercicios anteriores y el comportamiento de la función cuadrática:

   Conclusiones del docente
   - La función y = -2x² , refleja la función
   cuadrática y la contrae.
   - Al multiplicar la función y = x² con un número
   a>0 se genera la función y = ax² y sus gráfica
   es la expansión de la función inicial (siempre y
   cuando 0 < a< 1).
   - Si a>1 la gráfica se contrae comparada con la
   inicial.
   - Si a < 0 la gráfica se refleja comparada con la
   inicial.

   Características generales de la función y = x²

7. Con la función obtenida y = x² , observa los diversos cambios que se obtienen:

   ¿Qué pasa si la gráfica de la función y = x² se traslada verticalmente c unidades?

   Considera la función y = 3x² y su gráfica. Luego responde los siguientes ítems:
   Si la gráfica de esta función se traslada 2 unidades en el eje positivo y, ¿Cuál es
   la expresión algebraica y la gráfica de la nueva función?
   Ahora, si la gráfica de la función dada se traslada 2 unidades en el eje negativo
   y, ¿Cuál es la expresión algebraica y la gráfica de la nueva función?

   Ahora observen y concluyamos.

   Las expresiones obtenidas serían:
   y = 3x² +2 si el desplazamiento es 2
   unidades en el eje y. Positivo (línea azul).
   y = 3x² -2 si el desplazamiento es 2
   unidades en el eje y. Negativo (línea roja).

   Socialización
8. Con la función obtenida y = x² , observa los diversos cambios que se obtienen:

   ¿Qué pasa si la gráfica de la función y = x² se traslada horizontalmente b unidades?

   Considera la función y = 3x² y su gráfica. Luego responde los siguientes ítems:
   Si la gráfica de esta función se traslada 2 unidades a la derecha, ¿Cuál es la
   expresión algebraica y la gráfica de la nueva función?
   Ahora, si la gráfica de la función dada se traslada 2 unidades a la izquierda,
   ¿Cuál es la expresión algebraica y la gráfica de la nueva función?

   Ahora observen y concluyamos.

   Las expresiones obtenidas serían:
   y = 3(x - 2)² + 2 si el desplazamiento es
   a la derecha (línea azul).
   y = 3(x + 2)² + 2 si el desplazamiento es
   a la izquierda (línea roja).

   Socialización
9. Con la función obtenida y = x² , observa los diversos cambios que se obtienen:

   La gráfica de la función y = ax² + bx + c sin necesidad de tabular.

   A partir de la gráfica de la función y = x² responde los siguientes ítems:
   ¿Cómo se obtiene la gráfica de la función y = 2(x - 1)² - 1?

   Ahora observen y concluyamos.

   De acuerdo a lo anterior la gráfica de y = x² se
   desplaza una unidad a la derecha dado que la
   componente en x (el primer 1) es positiva.
   La gráfica a su vez se contrae dado que se
   multiplica por 2 y por ultimo se traslada 1 unidad
   en el eje negativo de y dado que la componente y
   es negativa.

   Socialización
10. Con la función obtenida y = x² , observa los diversos cambios que se obtienen:

    La gráfica de la función y = ax² + bx + c sin necesidad de tabular.

    Con base en lo anterior y a partir de la gráfica de la función y = x², gráfica y
    encuentra la expresión algebraica de la función cuyo vértice se encuentra en
    (1,2).

    Ahora observen y concluyamos.

    Socialización
11. Con la función obtenida y = x² , observa los diversos cambios que se obtienen:

    La simetría en la función cuadrática

    Ahora, realiza y responde:
    Halla el valor de f(2) y f(-2), ¿Qué relación hay entre las dos imágenes de la
    función cuadrática?
    ¿El resultado anterior se puede generalizar para cualquier número k del dominio
    de la función cuadrática? Justifica tu respuesta.
    ¿Se observa simetría en la gráfica? Justifica tu respuesta.

    Ahora observen y concluyamos.

    Socialización
12. De acuerdo a lo anterior, se puede establecer la siguiente conclusión:

    De lo anterior se tiene que además que la función es simétrica, se
    tiene que la imagen de un número negativo k es igual a la imagen de
    su opuesto aditivo, para todo k que pertenece al dominio de la
    función. A lo anterior se le denomina función par.
    Por lo tanto una función f es par, si para todo elemento f del dominio
    se cumple que f (x) = f (-x)

    CONCLUSIÓN 7
13. Consideremos la función y = x³, la cual se representa con la siguiente gráfica y observemos los diversos cambios que se obtienen:

    Para dicha función se tiene que el dominio y el rango de la misma,
    es el conjunto de los números reales.
    De acuerdo a lo mencionado, ¿Cuál seria el volumen (tenga en
    cuenta que para este caso, el dominio solo tiene valores positivos)
    de la caja, si la medida de cada arista es w?

14. Con la función y = x³, observa los diversos cambios que se obtienen:

    La simetría en la función cúbica

    Ahora, realiza y responde:
    Halla el valor de f(2) y f(-2), ¿Qué relación hay entre las dos imágenes de la función cúbica?
    ¿El resultado anterior se puede generalizar para cualquier número k del dominio de la
    función cúbica?. Justifica tu respuesta.
    ¿Se observa simetría en la gráfica? Justifica tu respuesta.

    Ahora observen y concluyamos.

    Socialización
15. Con base en lo anterior se establece la siguiente conclusión o generalización:

    De lo anterior se tiene que además que la función es simétrica con
    respecto al origen, se tiene que la imagen de un número negativo k
    es igual a la imagen de su opuesto aditivo, para todo k que
    pertenece al dominio de la función. A lo anterior se le denomina
    función impar.
    Por lo tanto una función f es impar, si para todo elemento del
    dominio se cumple que f (x) = - f (x)

    CONCLUSIÓN 8
16. Con la función y = x³, observa los diversos cambios que se obtienen:

    La traslación en los ejes x e y, contracción, expansión y reflexión de la función.

    Ahora, realiza y responde:
    Si la función se traslada 2 unidades a la derecha en el eje x, ¿cómo es su nueva
    representación algebraica?
    Si la función se multiplica por ½, ¿la función se contrae o se expande?
    Si la función se multiplica por 2, ¿la función se contrae o se expande?
    Si la función se traslada 1 unidad hacia arriba en el eje y, ¿cómo es su nueva representación
    algebraica?

    Ahora observen y concluyamos.

    Socialización
17. Con la función y = x³, observa los diversos cambios que se obtienen:

    La traslación en los ejes x e y, contracción, expansión y reflexión de la función cúbica.

    Ahora, considera la función y = 2x³, realiza y responde:
    ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la reflexión de la función con respecto al
    eje x?

    Ahora observen y concluyamos.

    Socialización
18. Teniendo en cuenta los diversos cambios que se obtienen en la función cuadrática y lo trabajado de la función cubica, responde:

    Para el siguiente ejercicio deberás retomar lo trabajado, responder a las preguntas y
    establecer lo realizado para la expresión algebraica y = a(x + b)³ + c

    Si c > 0, ¿la gráfica de la función y = ax² + c se traslada c unidades en el eje positivo de las
    y o en el eje negativo de las y? Justificar la respuesta.
    Si c < 0, ¿la gráfica de la función y = ax² + c se traslada c unidades en el eje positivo de las
    y o en el eje negativode las y? Justificar la respuesta.
    Si b > 0, ¿la gráfica de la función y = a(x + b)² + c se traslada b unidades a la derecha o a
    la izquierda? Justificar la respuesta.
    Si b < 0, ¿la gráfica de la función y = a(x + b)² + c se traslada b unidades a la derecha o a
    la izquierda? Justificar la respuesta.

19. Haremos la socialización de las respuestas halladas y posteriormente veremos que tan ciertas fueron nuestras respuestas y corregiremos. Socialización
20. Completa o corrige tus respuestas. Y ahora estas listo para hacer el mismo tratamiento con la función y = a(x + b)³ + c.

    De acuerdo a lo visto, para el caso de c > 0 la gráfica de la función y = ax³ + c se traslada
    verticalmente en el sentido positivo del eje y.
    Mientras que para el caso de c < 0 la gráfica de la función y = ax³ + c se traslada verticalmente en el
    sentido negativo del eje y.
    En el caso de b > 0 la gráfica de la función y = a(x + b)³ se traslada b unidades a la izquierda.
    Mientras que para b < 0 la gráfica de la función y = a(x + b)³ se traslada b unidades a la derecha.

    APUNTES DEL DOCENTE
21. Estas listo!!! Emplea lo trabajado y resuelve:

    Después de aclarar el comportamiento de la función cuadrática y una parte
    del de la función cubica. Establece que nos muestra la función y = a(x + b)³
    + c. respecto a las traslaciones, contracciones y expansiones. Resuelve
    detalladamente cada aspecto.

    Ejercicio