### ACTIVIDAD

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ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA Y SU GRÁFICA

1. Presta mucha atención a la siguiente
   manera de hallar la ecuación de la parábola.

2. Primero vamos a dibujar en el plano cartesiano
   una parábola cualquiera, por comodidad
   haremos que esta parábola inicialmente tenga
   su vértice en (0,0), obteniendo:

   Llamaremos p a la
   distancia que hay
   entre el Vértice y el
   foco, es fácil observar
   que esta distancia es
   la misma que hay
   entre el vértice y la
   directriz, debido a la
   definición de
   parábola.

3. Con ayuda de la grafica y lo mencionado anteriormente obtenemos que:
   Directriz se define como x = -p
   Foco (p,0)
   Vértice (0,0)
   Con estos datos y utilizando la definición de la parábola podremos
   plantear una ecuación que determine la parábola.

4. Se tomará un punto cualquiera de la parábola,
   al que llamaremos J, este punto tendrá unas
   coordenadas (x,y) además este punto cumplirá
   que la distancia de él a la directriz será la
   misma que la distancia de él al foco.

5. Tomando la definición de parábola sabemos que:
   de aquí se concluye, por teorema de Pitágoras que:

6. Con esta nueva ecuación es fácil observar que
   cuando el vértice de la parábola esta en (0,0) y esta
   abre hacia el lado derecho, nuestra ecuación para
   determinar la parábola es:

7. Ya te mostré el método para hallar la ecuación de
   una parábola, ahora hazlo tú, determina las
   ecuaciones de la parábola para cuando su vértice
   se encuentra en (0,0) y la parábola abre:
   - Hacia el lado izquierdo
   - Hacia Arriba
   - Hacia Abajo

8. Muy bien, ya sabemos como queda la ecuación de la parábola para los diferentes casos en que
   el vértice es el punto (0,0), ahora dime, ¿qué pasará si traslado el vértice a la coordenada (0,k)?

   Y ¿si ya no es el vértice con punto (0,k), si no (h,k)?