### ACTIVIDAD

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FRACTALES

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A partir de lo visto hasta el momento, comparte tu respuesta a la siguiente pregunta,
y revisa la información asociada.

La palabra fractal, referida a conjuntos
matemáticos, apareció por primera vez en el año
1977 cuando Benoit Mandelbrot la utilizó en su
libro “The Fractal Geometry of Nature” para
referirse a ciertos conjuntos que cumplen con
unas propiedades particulares.

Tienen detalles a todas las escalas, entendiendo por
esto que mirados a cualquier nivel de escala (zoom)
manifiestan detalles ya observados a nivel global.
Son autosemejantes, es decir, que están formados por
partes que son semejantes al conjunto total.
Tienen una descripción algorítmica simple,
entendiendo por ello que su construcción se basa en un
algoritmo sencillo.

Revisa la siguiente información y detalla cada una de los fractales que se presentan

Dentro de la matemática existe gran variedad de fractales, pero sobresalen algunos debido
a su permanencia en la historia, los cuales se les conoce como los fractales clásicos.
A continuación revisaremos algunos de esos fractales clásicos:

El conjunto de Cantor

Es el fractal por antonomasia, y también el
primero conocido. Fue ideado por Georg Cantor
en 1883 como ejemplo de conjunto de longitud
cero cuyos puntos se pueden identificar uno a
uno con todos los puntos de una recta (que
tiene longitud infinita).
Para su construcción se parte de un segmento
de longitud 1. Se divide en tres partes iguales y
se elimina la parte central abierta (es decir, sin
incluir los extremos). Cada una de las otras dos
se divide en tres partes iguales y se eliminan las
partes centrales (abiertas) en cada una de ellas.
Se procede igual con cada uno de los cuatro
segmentos que quedan. Y se repite el
proceso infinitas veces.

La curva de Koch

Fue ideada por Helge von Koch en 1904 como ejemplo de
curva de longitud infinita contenida en un recinto acotado y
sin tangente en cualquier punto. Su construcción se hace
mediante un proceso similar al del conjunto de Cantor.
Se parte de un segmento de longitud 1. El primer paso
consiste en dividirlo en tres intervalos iguales, construir un
triángulo equilátero sobre el intervalo central y suprimir la
base de dicho triángulo, como indica la figura. El segundo
paso de la construcción consiste en hacer lo mismo que
hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los
cuatro intervalos que han resultado. Y se repite el
proceso infinitas veces. La curva de Koch es la curva a
la que se van aproximando las sucesivas poligonales que
resultan en cada paso.

El triángulo de Sierpinski

Fue ideado por Waclaw Sierpinski en 1915. Su construcción
se hace mediante un proceso similar al de los conjuntos
anteriores.
Se parte de un triángulo equilátero de lado 1. El primer
paso consiste en dividirlo en cuatro triángulos equiláteros
iguales (lo que se consigue uniendo los puntos medios de
los lados) y eliminar el triángulo central, es decir nos
quedamos con los tres triángulos equiláteros de los
vértices. El segundo paso de la construcción consiste en
hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre
cada uno de los tres triángulos obtenidos en el paso
anterior. Y se repite el proceso infinitas veces,
obteniendo como resultado final el triángulo de Sierpinski.

La alfombra de Sierpinski

Se parte de un cuadrado de lado 1. El primer
paso consiste en dividirlo en nueve cuadrados
iguales (lo que se consigue dividiendo cada lado
en tres partes iguales) y eliminar el cuadrado
central, es decir nos quedamos con ocho
cuadrados. El segundo paso de la construcción
consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en
el primer paso sobre cada uno de los ocho
cuadrados obtenidos en el paso anterior. Y se
repite el proceso infinitas veces, obteniendo
como resultado final el objeto fractal conocido
como alfombra de Sierpinski.

Con base en lo realizado hasta el momento, responde de forma individual en tu material del estudiante
la siguiente solicitud, luego socializaremos los trabajos realizados y las compararemos con las imágenes
que se presentan abajo.

De acuerdo a las indicaciones dadas en la construcción de los fractales clásicos, trabajando
en hojas de block, reproduce los procesos que generaron los fractales clásicos

a) Determina a qué fractal corresponde cada imagen.
b) Teniendo en cuenta tus reproducciones y conociendo las formas de cada uno de los
fractales nombrados, determina qué tan cercana fue tu reproducción.

Ahora que has visto los fractales clásicos y los conoces, detallemos el procedimiento para construir
uno de ellos, realiza las consignas y responde las preguntas que se te indiquen en el proceso.

Dibuja un segmento de 1

El segmento anterior divídelo en
tres partes congruentes y borra
la parte central.
a) ¿Cuántos segmentos hay?
b) ¿Cuál es la longitud del
segmento?

A cada uno de los nuevos
segmentos divídelos en tres
partes iguales y borra la parte
central.
a) ¿Cuántos segmentos hay?
b) ¿Cuál es la longitud de cada
segmento, si el segmento original
mide una unidad?

Repite en cada uno de los nuevos
segmentos obtenidos el punto 3.
a) ¿Cuántos segmentos hay?
b) ¿Cuál es la longitud de cada
uno de los segmentos que se
generan?

Repite en cada uno de los nuevos
segmentos obtenidos el paso
anterior.
a) ¿Cuántos segmentos hay?
b) ¿Cuál es la longitud de cada
uno de los segmentos que se
generan?

1. A partir de la información obtenida hasta el momento, completa la siguiente tabla en tu material del estudiante
   y de manera individual responde las preguntas que se te plantean; luego socializaremos los resultados:

   a) Si se continúa con el mismo
   a) procedimiento indefinidamente,
   a) ¿Qué sucedería?
   a) ¿Es posible continuar llenando la
   a) tabla sin realizar el procedimiento
   a) indicado?
   a) Sí ¿Cómo?
   a) No ¿Por qué?

   Así mismo, completa la tabla que se encuentra en tu material del estudiante para n pasos.

2. Lee la siguiente información, da click en los botones para avanzar y observar su comportamiento y a partir de ello
   obtendremos la longitud de los segmentos.

   Si detallamos los procesos que se llevan a cabo
   en cada uno de los pasos, se observa que es
   necesario que los segmentos de los extremos se
   conserven y que sean estos los que se subdividan
   en tres nuevos segmentos. Expresándose en un
   grupo de segmentos más abajo.
   Pero cada nuevo paso tendrá solo dos de los tres
   segmentos divididos, por lo cual es de la forma 2k
   y por ser dividido en tres, su longitud
   depende del número de divisiones que se han
   realizado. Es decir, 3-k.

   4. Para procesos en los que se hace reiterada
      subdivisión, la longitud de los segmentos se hace cada
      vez más pequeña.
      De ahí que la ecuación que permite conocer la suma de
      las longitudes de los segmentos del último nivel en el
      conjunto de Cantor se pueda expresar como:

1. Con base en lo desarrollado hasta el momento y siguiendo el mismo razonamiento, completa la siguiente
   tabla en tu material del estudiante y contesta las preguntas de manera individual:

   1. ¿Es posible establecer generalizaciones, utilizando las propiedades
   numéricas de cada una de las características analizadas en el fractal
   clásico?
   Sí ¿Cuál?
   No ¿Por qué?

   De acuerdo a la secuencia que has
   elaborado, ¿qué generalización podrías
   plantear para esta columna?

2. Para finalizar esta primera actividad, resuelve las siguientes preguntas en tu material del estudiante de
   forma individual. Luego revisaremos la información de cada uno de los fractales.

   a) ¿Es posible realizar una tabla como la anterior, para cada uno de los
   fractales clásicos?
   Si ¿Cómo?
   No ¿Por qué?
   b) ¿Es posible establecer generalizaciones, utilizando las propiedades
   numéricas de cada una de las características analizadas en los fractales
   clásicos?
   Si ¿Cuál?
   No ¿Por qué?

   Después de seguir un proceso similar al del conjunto de Cantor es posible para la Curva
   de Koch obtener la siguiente expresión y la respectiva tabla:

   Después de un proceso similar al del conjunto de Cantor Cantor es posible para el
   triángulo de Sierpinski obtener la siguiente expresión y la respectiva tabla:

   Después de un proceso similar al del conjunto de Cantor alcanzamos para la alfombra de
   Sierpinski obteniendo la siguiente expresión y la respectiva tabla: