### ACTIVIDAD

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RIEMANN

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1. Reúnete con los dos compañeros con los que trabajaste en la actividad 2, con ellos responde en tu material del
   estudiante las siguientes consignas. Consulta, en relación a la forma en la que se dio el desarrollo histórico, qué permite hallar el área de figuras,
   descomponiéndolas en rectángulos.
   Indaga en relación a los aportes de Riemann al desarrollo del Cálculo Integral.
   Elabora una línea histórica, en la que ubiques los personajes que realizaron contribuciones al desarrollo del cálculo integral,
   enfatizando en aquellos que trabajaron en la descomposición del área de la figura en rectángulos. En dicha línea,
   es necesario que describas brevemente el aporte del personaje.
2. Con base en la información encontrada, formemos nuestra línea del tiempo con los aspectos más relevantes de lo
   consultado sobre los aportes el cálculo integral, en especial a la descomposición de figuras en rectángulos.
   1930
   1938
   1962
   1974

1. Observa con atención el siguiente ejemplo de cuadratura, el cual sigue el mismo procedimiento de la integral
   de Riemann. La ESPIRAL DE ARQUÍMEDES, es la curva que describe un
   punto material que se mueve con la velocidad uniforme a
   lo largo de una semirrecta que gira con velocidad angular
   uniforme alrededor de su extremo. Es un ejemplo de las
   llamadas curvas mecánicas. La ecuación polar, de una
   espiral de Arquímedes es de la forma P = av, donde a › 0
   es una constante.
   TEOREMA: El área del primer ciclo de una espiral es igual
   a una tercera parte del área del círculo circunscrito.
2. Observa con atención el siguiente ejemplo de cuadratura, el cual sigue el mismo procedimiento de la integral
   de Riemann.
   Recordemos que el área es una de las magnitudes que
   se miden de una superficie.
   El tipo de región más simple, que se puede considerar
   es un rectángulo, cuya área se define como el producto
   de su base por su altura. A partir de esta definición,
   se pueden obtener las fórmulas para el área de regiones
   más complicadas: triángulos, paralelogramos, polígonos
   regulares, etc.
   Los primeros matemáticos que intentaron resolver el
   problema de una forma seria fueron los griegos, utilizando el
   método de “Exhaución”. Este método, atribuido a
   Arquímedes, consiste en encajar la región entre dos
   polígonos, uno inscrito y otro circunscrito. Si la diferencia
   entre las áreas de los dos polígonos es pequeña, entonces
   se puede aproximar el área de la región por cualquier
   número comprendido entre el área del polígono inscrito
   y el área del polígono circunscrito.
   Les parecido en algunos aspectos, al método de exhaución.
   Se trata de aproximar la región por una unión de rectángulos
   de tal forma que el área de la región se aproxime por la suma
   de las áreas de los rectángulos.

1. Ahora bien, es necesario tener unas consideraciones con respecto al método de aproximación al área bajo la curva
   por medio de suma de área de rectángulos. Es necesario definir la integral de la función f en un intervalo cerrado [a, b].
   a y b son los límites inferior y superior de la integración respectivamente.
   No todas las funciones son integrables, sin embargo la familia de funciones integrables en un intervalo es muy grande
   “Toda función continua en un intervalo cerrado [a, b] es integrable en dicho intervalo”.
   Si f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a; b], entonces el área de la región limitada por f, el eje x y las líneas
   verticales x = a y x = b viene dada por:
   Área = ∫ab f(x) dx
2. Con base en lo visto hasta el momento, en tu material del estudiante responde la siguiente pregunta.
   Luego socializaremos algunas respuestas. ¿Es posible, que al ubicar en el plano cartesiano una figura, y ésta pueda interpretarse como una función?
   Si ¿Cómo? No ¿Por qué?
3. Observa las siguientes imágenes y relaciona las condiciones mostradas con tu respuesta a la anterior pregunta.
   Luego en tu material del estudiante aun en compañía de tus dos compañeros responde las preguntas. Determina si son o no integrables por medio del método desarrollado por Riemann, justificando tu respuesta las funciones
   que encuentras en tu material del estudiante.
   ¿Cuáles conocimientos previos, puedes utilizar para la determinación del área de figuras con superficies curvas?
   Justifica tu respuesta.
   ¿Es posible, mediante la aplicación del límite, realizar aproximaciones al área de las figuras con descomposición
   en rectángulos?
   Si ¿Cómo? No ¿Por qué?
4. Socialicemos algunas de las respuestas dadas a las preguntas anteriores. ¿La anterior función es integrable bajo las condiciones que estableció
   Riemann? Si ¿Cómo? No ¿por qué?

   FUNCION 01

   FUNCION 02

   FUNCION 03

   FUNCION 04

   FUNCION 05

5. Así mismo, observa la siguiente información: Una es una generalización de la obtención del área bajo una curva
   por medio de la suma de áreas indifinitesimales para una función dada. El es una operación que se aplica a una función en la cual indica los valores que toma la
   función están próximos a un valor constante. La es la razón de cambio con respecto a una variable en una función. Una es una relación biunívoca entre los elementos de dos conjuntos, llamados
   dominio y rango.