### ACTIVIDAD

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RECONOCIENDO E INTERPRETANDO

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Realiza la lectura del texto: Un poco de historia (desde los griegos hasta Riemann).

El problema del cálculo de áreas planas y de volúmenes de sólidos se remonta a los tiempos de los griegos. Básicamente existían dos tipos de métodos: los métodos heurísticos o atómicos y los métodos de exhaución.
Leucipo, Demócrito y Antifón hicieron contribuciones al método exhaustivo griego al que Eudoxo (370 a.C.) dio una base científica. El método consistía en aproximar exhaustivamente la figura cuya área se deseaba calcular mediante polígonos de áreas conocidas.
Posteriormente, Arquímedes (225 a.C.) usó el método exhaustivo (= agotamiento) para encontrar la aproximación al área de un círculo. De un modo sencillo puede describirse así: “Dada una región cuya área deseamos determinar, se inscribe en ella una región poligonal que se aproxime a la dada, y cuya área sea conocida o de fácil cálculo. Luego se elige otra región poligonal que dé una aproximación mejor, continuándose el proceso tomando cada vez polígonos de mayor número de lados y que tiendan a llenar la región dada inicialmente”.
No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad. Luca Valerio (1552-1618) publicó ‘De quadratura parabolae’ en Roma (1606) que continuaba los métodos griegos para atacar el problema del cálculo de áreas.
Tres matemáticos, nacidos en un periodo de tres años, fueron los siguientes en hacer contribuciones importantes. Eran Fermat (1601-1665), Roberval y Cavalieri (1591-1647). Este último llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler: “Cada recinto plano lo considera como suma de infinitos segmentos paralelos, y cada cuerpo como suma de sus infinitas secciones paralelas. Tales segmentos y secciones planas son los llamados indivisibles de Cavalieri”.
El siguiente paso importante lo dieron Torricelli y Barrow (1630-1677). Ambos estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una concienciación de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra. De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado y Newton (1642 -1727) continuaría en esta dirección y daría explícitamente el ‘Teorema Fundamental del Cálculo’.
Posteriormente Leibniz (1646 – 1665) usó la integral como una suma, de forma muy similar a la de Cavalieri. Es, además, el responsable de la actual simbología del cálculo infinitesimal.
El nombre de "Cálculo Integral" fue puesto por Jacob Bernoulli (1654 – 1705) a finales del siglo XVII; posteriormente, ya en el siglo XIX Euler (1707 -1783) publicó en un libro todo el cálculo integral elemental.
El cálculo Integral fue asentado de forma rigurosa a partir de la noción de límite de Cauchy (1789 – 1857). Pero la integral de Cauchy sólo era válida para funciones continuas en intervalos cerrados y acotados, así que fue Riemann (1826 -1866) quien definió la integral que lleva su nombre, ampliando la clase de funciones integrables a las funciones continuas salvo en un número numerable de discontinuidades.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID. (25 de 03 de 2015). TUTORIAL INTERACTIVO SOBRE INTEGRACIÓN.
Obtenido de Departamento de Matemática Aplicada a las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones:
http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion2/html/contenido.html

## Métodos heurísticos

Los métodos heurísticos se basaban en la teoría atomista de Demócrito, que consideraba una línea, superficie o volumen como formada de un número finito de átomos. Se trataba entonces de sumar todos sus átomos para calcular su longitud, superficie o volumen.
Con este método, Demócrito calculó por primera vez los volúmenes del cono y la pirámide.

## Métodos de exhaución

Métodos que trababan de forma más rigurosa el cálculo de áreas y volúmenes, realizando demostraciones exhaustivas de los resultados. Tenían la desventaja de la necesidad de conocer el resultado para poder demostrarlo.
Estos métodos fueron típicos de la Matemática griega y renacentista.

Responde las siguientes consignas y preguntas:

- ¿Cuál consideras que fue el evento
  que marcó el surgimiento
  del cálculo integral?
- ¿Por qué crees que
  surgió el cálculo integral?
- Utiliza una palabra para describir el aporte
  de cada uno de los matemáticos al
  surgimiento y formalización
  del cálculo integral.
- Selecciona uno de los personajes que se presentaron y
  redacta un texto en el cual, con tus palabras, un poco de
  humor y teniendo presentes las anécdotas alrededor del
  evento histórico, cuentes cuál fue el aporte de dicho personaje
  al surgimiento y formalización del cálculo.

Responde el cuestionamiento:

¿A quién se le debe entonces el surgimiento del Cálculo Integral?.
Luego, analiza algunos de los aportes que de forma independiente realizaron Newton
(en 1664 - 1666) y Leibniz (en 1675) al surgimiento del cálculo.

En el último tercio del siglo XVII, Newton y Leibniz inventaron el Cálculo de forma independiente:

Unificaron y resumieron en dos conceptos generales, el de integral y derivada, la gran variedad
de técnicas diversas y de problemas que se abordaban con métodos particulares.

Desarrollaron un simbolismo y unas reglas formales de cálculo que podían aplicarse a funciones
algebraicas y trascendentes, independientes de cualquier significado geométrico, que hacía casi
automático, el uso de dichos conceptos generales.

Reconocieron la relación inversa fundamental entre la derivación y la integración.

Newton, llamó a nuestra derivada una fluxión, razón de cambio o flujo.

Leibniz vio la derivada como una razón de diferencias infinitesimales
y la llamó el cociente diferencial.

Newton hizo sus primeros descubrimientos diez años antes que Leibniz quien,
sin embargo, fue el primero en publicar sus resultados.

Realiza la lectura del texto:

## La investigación de Newton y la investigación de Leibniz.
Luego, responde el cuestionamiento:
¿A quién se le debe entonces el surgimiento del Cálculo Integral?.

### La investigación de Newton

A principios de 1665 descubre el teorema del binomio y el cálculo con las series infinitas. A finales de ese mismo año, el método de fluxiones, es decir, el cálculo de derivadas. En 1666 el método inverso de fluxiones y la relación entre cuadraturas y fluxiones. En esos dos años también inició las teorías de los colores y de la gravitación universal. Newton tenía 24 años.
Newton desarrolló tres versiones de su cálculo. En la obra De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas, que Newton entregó a su maestro Barrow en 1669, y que puede considerarse el escrito fundacional del Cálculo, Newton usa conceptos infinitesimales de manera similar a como hacía el propio Barrow.
Una segunda presentación del Cálculo es la que realiza Newton en el libro Methodus fluxionum et serierum infinitorum, escrito hacia 1671 y que se publicó mucho después en 1736. Newton considera cantidades variables que van fluyendo con el tiempo, a las que llama fluentes. Después se introducen las razones de cambio instantáneas de las fluentes, a las que llama fluxiones, que son las derivadas respecto al tiempo de las fluentes. Newton representaba a las primeras por letras x, y, z,. . . y a las segundas por letras punteadas x˙, y˙, z˙,. . . . Los incrementos de las fluentes x, y, z,. . ., los representa por medio de las correspondientes fluxiones en la forma x˙o, y˙o, z˙o,. . ., y los llama momentos, donde (o) es entendido como un incremento infinitesimal de tiempo. Newton, desarrolló una serie de algoritmos y redujo muchos problemas como determinación de tangentes, máximos y mínimos, áreas y superficies, curvaturas, longitudes de arcos, centros de gravedad etc., a dos problemas fundamentales que pueden formularse tanto en términos mecánicos como en términos matemáticos:
Problema 1: Determinación de la velocidad de movimiento en un momento de tiempo dado según un camino dado. De otro modo: dada la relación entre las cantidades fluentes, determinar la relación de las fluxiones.
Problema 2: Dada la velocidad de movimiento, determinar el camino recorrido en un tiempo dado. Matemáticamente: determinar la relación entre las fluentes dada la relación entre las fluxiones.
Hay que notar, que Newton no piensa en términos de funciones con el significado actual de ese término, sino que imagina curvas o superficies descritas por las variables, o sea, considera relaciones entre las fluentes del tipo f (x, y, z, . . . ) = 0, donde f para él es una expresión analítica finita o infinita.

### La investigación de Leibniz

Las investigaciones de Leibniz sobre la integración y el origen de sus notaciones para la integral y los diferenciales, pueden seguirse con todo detalle en una serie de manuscritos del 25 de octubre al 11 de noviembre de 1675. En 1676 Leibniz ya había obtenido prácticamente todos los resultados descubiertos por Newton un poco antes.
La primera publicación sobre cálculo diferencial, fue el artículo de Leibniz Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractals nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus, que fue publicado en Acta Eruditorum hace ya más de tres siglos, en 1684. En este trabajo, Leibniz definía el diferencial dy de forma que evitaba el uso de las sospechosas cantidades infinitesimales. Poco después, en 1686, Leibniz publicó un trabajo con sus estudios sobre la integración.
En las matemáticas de Leibniz son importantes los estudios sobre sucesiones numéricas y sus sucesiones de diferencias consecutivas asociadas.
Dada una sucesión de números: a1, a2, a3, a4, ... , an-1, an, ... Se puede formar la sucesión de sus diferencias primeras: b1 = a1, b2 = a2 - a1, b3 = a3 - a2, b4 = a4 - a3, ... , bn = an - an-1, ...
Así pues, Leibniz se dio cuenta de la relación: b1 + b2 + b3 + ... + bn = an, deduciendo que las sucesiones de diferencias pueden sumarse fácilmente, y que el proceso de formar la sucesión de diferencias y después sumarla recupera la sucesión inicial, es decir, que se trata de operaciones inversas una de la otra. Esta sencilla idea, cuando se lleva al campo de la geometría, conduce al concepto central del cálculo de Leibniz que es el de diferencial, el cual tuvo para él diferentes significados en distintas épocas.
Reconocido hoy día como un genio universal, Leibniz vivió sus últimos años en Hannover en un aislamiento cada vez mayor y murió el 14 de noviembre de 1716. A su entierro solamente asistió su secretario.
Adaptado de Suárez, M. (2008). Obtenido de Orígenes del Cálculo Diferencial e Integral: Historia del Análisis Matemático. Universidad de Granada. Recuperado de
http://www.ugr.es/~mmartins/material/historia_matematica_origenes_calculo.pdf